UPPSC AE Mechanical 13 Dec 2020 Official Paper I (Previous Year Paper)

• "मरणासन्न – अव्ययीभाव समास" यह समास - युग्म बिलकुल गलत है।  अत: प्रश्नानुसार सही विकल्प 4 'मरणासन्न – अव्ययीभाव समास' है।

• मरणासन्न का समास विग्रह :- जो मृत्यु के आसन पर हो अर्थात जो मृत्यु के निकट हो

• अत: यहाँ उत्तर पद 'आसन' प्रधान पद है, इसलिए यह तत्पुरुष समास होगा।

• जबकि "जिस समास में पहला पद प्रधान हो और समस्त शब्द अव्यय का काम करे।" वह 'अव्ययी भाव समास' होता है।

Key Points

• सतसई – द्विगु समास ---> "सात का समाहार अथवा समूह"
• तुलसीकृत – तत्पुरुष समास ---> "तुलसी द्वारा कृत अथवा तुलसी द्वारा लिखा"
• मंदोदरी – बहुव्रीहि समास  ---> "मंद उदर हो जिसका अर्थात मन्दोदरी"

Additional Information

• अलग होने के अर्थ में 'अपादान कारक' का प्रयोग किया जाता है।

• जैसे:- पेड़ से पत्ता गिरा, अर्थात पेड़ से पत्ते के अलग होने के भाव में यहाँ अपादान कारक का प्रयोग किया जाता है।

• करण कारक और अपादान कारक दोनों की विभक्ति 'से' होती है।

• परन्तु अपादान कारक की 'से' विभक्ति अलग होने के अर्थ में प्रयोग की जाती है और करण कारक की 'से',  "के द्वारा" के अर्थ में प्रयोग की जाती है।

• जैसे:- पृथ्वी सूर्य 'से' दूर है। (अपादान कारक)

• जैसे:- बच्चा बोतल 'से' दूध पीता है। (करण कारक)

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Additional Information  

कारक- संज्ञा या सर्वनाम का क्रिया से सम्बन्ध जिस रूप से जाना जाता है, उसे कारक कहते हैं।

हिंदी में जिनकी संख्या आठ मानी गई है। जो निम्नलिखित हैं:-

‘पवन’ शब्द का सन्धि-विच्छेद 'पो + अन' होगा। अतः सही विकल्प 'पो + अन' है।

 

Key Points

• 'पवन' में 'अयादि स्वर संधि' है।
• 'पवन' का विच्छेद करने पर 'पो + अन = पवन' होगा और नियम 'ओ + अ = अव्' है।

 

 

Additional Information

• 'निर्झरिणी' शब्द वर्तनी और उच्चारण की दृष्टि से शुद्ध और सार्थक है। अत: सही विकल्प 3 'निर्झरिणी' है।

Key Points 

• निर्झरिणी का अर्थ :- नदी होता है।
• नदी के पर्यायवाची शब्द:-  सरिता, तटिनी, सरि, सारंग, तरंगिणी, दरिया, निर्झरिणी होते है।

• 'नयन' मूल शब्द है, इसमें कोई उपसर्ग प्रयोग नही होता है। अत: सही विकल्प 4 'नयन' होता है।

Mistake Points

• नयन शब्द में 'न्' मूल शब्द है, और 'अन' प्रत्यय लगा हुआ है
• नयन में उपसर्ग नही बल्कि प्रत्यय का प्रयोग हुआ है।

Key Points

• सहज --> स + हज,  स उपसर्ग
• अनुभव --> अनु + भव, अनु उपसर्ग
• संचार ---> सन् + चार, सन् उपसर्ग

Additional Information

• उपरोक्त में से ‘अनघ’ का विलोम शब्द:- "अघ" होता है।

Important Points

• ‘अनघ’ का अर्थ:- निष्पाप, शुद्ध, सही, पूर्ण, निर्दोष, दोषरहित" होता है।
• ‘अघ’ का अर्थ:- पापी, नीच

Key Points

Additional Information

• 'पिशुन' पक्षी का पर्यायवाची शब्द नही होता है। अत: प्रश्नानुसार सही विकल्प 1 'पिशुन' होगा।
• पक्षी के सभी पर्यायवाची शब्द:- खग, चिडिया, गगनचर, पखेरू, विहंग, नभचर
• विहंग, शकुनि, द्विज :- यह तीनो पक्षी के अन्य समानार्थी अर्थात पर्यायवाची शब्द होते है।

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• द्विज का वैसे अन्य अर्थ :- दो जन्म लेने वाला भी होता है।
• जैसे:- हनुमान जी का अन्य नाम भी द्विज है।
• परन्तु यहाँ प्रश्नानुसार पक्षी का पर्यायवाची भी द्विज होता है।

Important Points

• 'पिशुन' भी एक पक्षी होता है, जिसके पर्यायवाची निम्न है:-
• पिशुन:- काक, वायस, काग, करठ, पिशुन।

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Additional Information 

• "उत्तराधिकार में प्राप्त सम्पत्ति – धरोहर" यह विकल्प युग्म गलत है। अत: प्रश्नानुसार सही विकल्प 1 'उत्तराधिकार में प्राप्त सम्पत्ति – धरोहर' है।
• "उत्तराधिकार में प्राप्त सम्पत्ति" के लिए सही वाक्यांश :-  "रिक्थ" कहलाता है।
• साथ ही इसे "पैतृक धन" भी कहा जाता है।

Additional Information

'विवाह' तत्सम शब्द है। अन्य विकल्प असंगत है। अत: सही विकल्प 1 'विवाह' है। 'विवाह' शब्द संस्कृत से ज्यों का त्यों ग्रहण किया गया है।

Key Points

• ईख का तत्सम शब्द ---> इक्षु
• खीर का तत्सम शब्द ---> क्षीर
• गिद्ध का तत्सम शब्द ---> गृद्ध

Additional Information

• उपरोक्त में से ‘महीसुर’ शब्द का अर्थ:- 'ब्राह्मण' है।
• ‘महीसुर’ का अर्थ:- मही के सुर अर्थात 'पृथ्वी का देवता' अर्थात ब्राह्मण सन्दर्भ में प्रयोग किया जाता है।

Additional Information

• पृथ्वी के रक्षक यहाँ सही विकल्प नहीं है।
• महिषासुर:- यह एक राक्षस का नाम है।
• राक्षस:- पृथ्वी के रक्षक कार्य करने न वाले अर्थात भक्षक को राक्षस कहा जाता है।

• ‘ने + अन’ = ‘नयन’ में 'अयादि सन्धि' है। अत: सही विकल्प 3 'अयादि संधि' है।

Key Points

Additional Information

• 'उज्ज्वल' शब्द शुद्ध वर्तनी का शब्द है। अत: सही विकल्प 1 'उज्ज्वल' है।

Key Points

• उज्ज्वल का अर्थ :- स्वच्छ, शुद्ध, साफ़
• उज्ज्वल शब्द में व्यंजन संधि है।
• उज्ज्वल का शुद्ध संधि विच्छेद है= उत् + ज्वल।

• ‘बुद्धिहीन’ शब्द व्याकरण की दृष्टी से इनमें से:- विशेषण के अंतर्गत आते है।
• जो शब्द किसी की विशेषता बताते है, वो विशेषण कहलाते है। जैसे:- राकेश बुद्धिहीन लड़का है।
• अत: बुद्धिहीन राकेश के बारे में विशेष है।

Additional Information

• "महादेवी वर्मा छायावाद की प्रसिद्ध कवयित्री हैं।" सिर्फ यह वाक्य उच्चारण और व्याकरणिक दृष्टि से शुद्ध है।

Key Points

• मेरा प्राण संकट में है  -----> मेरे प्राण संकट में हैं।
• सोमवार को रेलवे के कई कर्मचारी गिरफ़्तार हुए। --> सोमवार को कई रेलवे कर्मचारी गिरफ़्तार हुए।
• अपराधी को मृत्युदंड की सजा दी गयी है। --->अपराधी को मृत्युदंड दिया गया।

• इनमें से दन्त्य ध्वनियाँ:- "त, थ, द, ध" है। अन्य विकल्प असंगत है। अत: सही विकल्प 3 "त, थ, द, ध" है।

Key Points

Additional Information

दिए गए विकल्पों में 'उद्धार' शब्द व्यंजन संधि आधारित शब्द है। अतिरिक्त विकल्प स्वर तथा विसर्ग संधि हैं। अतः सही विकल्प 2 'उद्धार' है।

Key Points

• व्यंजन संधि में त् + ह आये तो त् का द् तथा ह का ध में रूपांतरण होगा। जैसे – उत् + हरण = उद्धरण, पद् + हती = पद्धति।

 

अन्य विकल्प

 

Additional Information

• ‘चौराहा’ का समास विग्रह :-  चार राहो का समूह होता है। अत: सही विकल्प 4 'द्विगु' समास है।
• द्विगु समास में प्रथम वर्ण संख्या वाचक होता है।

Key Points 

• ‘निवृत्ति’ शब्द का विलोम:- प्रवृत्ति है। अत: सही विकल्प 3 'प्रवृत्ति' है।
• ‘निवृत्ति’ का अर्थ:- छुटकारा, मुक्ति
• 'प्रवृत्ति' का अर्थ:- किसी चीज से जुड़े होने की अवस्था

Key Points

• सद्वृत्ति (सदाचार) का विलोम - असद्वृत्ति

Additional Information

• ‘शारदा’ का पर्यायवाची शब्द:- गिरा है।
• शारदा के अन्य पर्यायवाची:- भारती, सरस्वती, वाग्देवी, वीणावादिनी, विद्या, वागेश्वरी, वागीशा।

Key Points

• कमला के पर्यायवाची:- पद्मा, रमा, लक्ष्मी,हरिप्रिया, श्री, इंदिरा
• कौमुदी के पर्यायवाची:- चन्द्रिका, चाँदनी, ज्योत्स्ना, चन्द्रमरीचि, उजियारी, चन्द्रप्रभा, जुन्हाई।
• वारुणी के पर्यायवाची:- मदिरा, मधु, शराब, आसव, सुरा, मद्य, हाला, मद।

Additional Information

• 'मुमूर्षु' उसे कहते है जो मृत्यु के निकट हो या मृत्यु माँग रहा हो। अत: प्रश्नानुसार सही विकल्प 2 ''मुमूर्षु'' होगा। अन्य विकल्प असंगत है।

Key Points

• मुमुक्षा --> जो मोक्ष की इच्छा रखें, उसके लिए प्रयुक्त शब्द मुमुक्षा होता है।
• मुमुक्षु --> जो मोक्ष की इच्छा रखें, उस भव्यात्मा के लिए भी प्रयुक्त शब्द मुमुक्षा होता है।
• युयुत्सा --> जो युद्ध के लिए तत्पर अथवा युद्ध की कामना रखता हो।

Additional Information

• ‘चीनांशुक’ शब्द का सही अर्थ:- "रेशम वस्त्र" है। अत: सही विकल्प 3 'रेशम वस्त्र' होगा।

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• ‘चीनांशुक’ का वास्तविक अर्थ 'रेशम' से जुदा हुआ होता है, परन्तु इसका अर्थ मिट्टी से जुड़ा हुआ बिल्कुल भी नही होता है।
• ‘चीनांशुक’ को हम रेशमी कपड़ा, चीन से आया वस्त्र आदि के रूप में किताबो में पढ़ सकते हैं।
• परन्तु चीनी मिट्टी इसका उत्तर नही होगा।​

Additional Information

• तंतु --> सूत अथवा तागा, रेशा
• रेणु --> धूल , रेत
• चीनी मिट्टी :- यह एक सफेद मिट्टी होती है, जिसे पकाकर बर्तन या खिलौने बनाये जाते है।

• उपरोक्त विकल्पों में से 'तेल' तद्भव शब्द है। अत: सही विकल्प 2 'तेल' है।
• तद्भव शब्द, वे होते है जो संस्कृत से उत्पन्न शब्दों के नये रूप होते है, जिनका उच्चारण समय के साथ बदल गया है।
• अत: तेल का तद्भव शब्द - तैल होता है।
• इसी प्रकार आँसू भी तद्भव है जिसका तत्सम शब्द 'अश्रु' होता है।

Important Points

• तत्सम शब्दों के तद्भव रूप 
• वानर - बन्दर
• पीत - पीला
• घोटक - घोड़ा

Additional Information

• उपरोक्त विकल्पों में से 'तलवार', 'सारंग' का कोई अर्थ नही है, दोनों के मध्य कोई सम्बन्ध नही है। अत: सही विकल्प 3 'तलवार' है।
• सारंग का अर्थ:- सुहावना, सुंदर, मन भावन होता है।
• भौंरा, कामदेव, ज्योतिषी, सभी सारंग के अनेकार्थक शब्द है।
• सारंग के एक से अधिक अर्थ –
• हाथी, कोयल, कामदेव, सिंह, धनुष, भौंरा, मृग, मयूर, स्त्री, नानावर्ण
• सुन्दर, सरस, बादल, वृक्ष, छाता, वस्त्र, बाल, शंख
• शिव, कपूर, चन्दन, आभूषण, स्वर्ण, मधुमक्खी, कमल।
• ज्योतिषी भी सारंग का अनेकार्थी शब्द होता है क्योंकि सारंग का अर्थ है विभिन्न रंगो वाला जैसे सारंग हिरन, सारंग सिंह उसी प्रकार ज्योतिषी भी के विद्वान् का प्रकार है अत: यह भी अनेकार्थी शब्द होगा।
• अनेकार्थी शब्द अर्थो से नही भावार्थ से भी निकाले जाते है।

Confusion Points

• अनेकार्थक शब्द में एक ही शब्द के भिन्न भिन्न अर्थ होते है।
• जैसे:- कनक का मतलब 'सोना (स्वर्ण)' , गेंहू, और धतूरा तीनो होता है।

Additional Information

• ‘अंदर-अंदर कड़ाही में गुड़ पगना’ – इस मुहावरे का सही अर्थ 2 'गुप्त मंत्रणा होना' है।
• वाक्य प्रयोग:- कौरवो ने पांडवो के खिलाफ ‘अंदर-अंदर कड़ाही में गुड़ पग लिये थे। अर्थात अंदर ही अंदर गुप्त चालाकी कर ली थी।

Key Points

Additional Information

सहस्र शब्द वर्तनी और उच्चारण की दृष्टि से शुद्ध और सही विकल्प है। अन्य विकल्प अशुद्ध है। 

Key Points

• सहस्र का अर्थ:-  गिनती में हजार गुना

Additional Information

• अनाधिकार --> शुद्ध रूप 'अनधिकार'  ---> जिसमे योग्यता की कमी हो
• रचइता --->  शुद्ध रूप 'रचयिता' ---> जो रचना करता है
• संग्रहीत ---> शुद्ध रूप 'संग्रहित'  ---> एकत्र किया हुआ,

Concept:

• To find the maximum bending moment, we need to find the reactions at support.
• The area under the loading diagram gives the total load acting and can be replaced as a point load which acts at the centroid of the given figure.

Calculation:

Given:

Simply supported beam with uniform varying load.

For support reaction:

Netload acting on the beam is the area under the load diagram

$\therefore P = \frac{1}{2} \times l \times( {w_o} \times l)= \frac{{{w_o}{l^2}}}{2}$

For the beam system to be in equilibrium:

ΣF_y = 0

${R_A} + {R_B} = \frac{{{w_o}{l^2}}}{2}$    .... eq (i)

ΣM_A = 0

${R_B} \times l - \left( {\frac{{{w_o}{l^2}}}{2}} \right) \times \frac{{2l}}{3}$

${R_B} = \frac{{{w_o}{l^2}}}{3}$

From equation (i)

${R_A} = \frac{{w_0{l^2}}}{6}$

Now, the moment about the x-x plane

${M_x} = \frac{{{w_o}{l^2}x}}{6} - \frac{{{w_o}{x^3}}}{6}$

For a maximum bending moment,

$\frac{{d{M_x}}}{{dx}} = 0$

$\frac{{d{M_x}}}{{dx}} = \frac{1}{6}\left( {{w_o}{l^2}} \right)-\frac{1}{6}\left( {{w_o} \times 3{x^2}} \right) = 0$

$x = \pm \frac{l}{{\sqrt 3 }}$

As length cannot be negative,

So maximum bending moment taking the positive value of x,

${M_{x = \frac{l}{{\sqrt 3 }}}} = \left( {\frac{{{w_o}{l^3}}}{{6 \times 3 \times \sqrt 3 }}} \right) - \left( {\frac{{{w_o}{l^3}}}{{6 \times \sqrt 3 }}} \right)$

${M_{x = \frac{l}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{{w_o}{l^3}}}{{9 \times \sqrt 3 ;}}\Rightarrow \frac{\sqrt 3w_o l^3}{27}$

Concept:

Resolving force along the inclined plane and normal to the plane.

Calculation:

Given:

Along the normal:

Mgcos θ = N

Along the inclined plane:

Mgsin θ - f = Ma

But f = μN

Mgsin θ - μMgcos θ = Ma

a = gsin θ - μgcos θ

a = gcos θ(tan θ - μ)

Now $S = ut + \frac{1}{2}a{t^2}$

But $u = 0,; \Rightarrow s = \frac{1}{2}a{t^2}$

$\Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2s}}{a}}$

$\Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2s}}{{g\cos θ \left( {\tan θ - μ } \right)}}}$ which is valid when μ < tan θ.

Explanation:

Moment of inertia:

Moment of inertia is a measure of the resistance of a body to angular acceleration about a given axis that is equal to the sum of the products of each element of mass in the body and the square of the element’s distance from the axis.

I = ∑( m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² +m₄r₄² + …….. + m_nr_n²)

Moment of inertia of a thin spherical shell of mass M and radius R about its diameter.

${\rm{I}} = \frac{2}{3}{\rm{M}}{{\rm{R}}^2}$

Additional Information

Moment of inertia of some important shapes:

Explanation:

Balancing of several masses rotating in different planes:

• When several masses revolve in several planes, they may be transferred to a reference plane (briefly written as R.P.), which may be defined as the plane passing through a point on the axis of rotation and perpendicular to it.
• The effect of transferring a revolving mass (in one plane) to a reference plane is to cause a force of magnitude equal to the centrifugal force of the revolving mass to act in the reference plane, together with a couple of magnitudes equal to the product of the force and the distance between the plane of rotation and the reference plane.

Representation of masses in the different planes:

The angular position of masses:

Position of the reference plane:

In order to have a complete balance of the several revolving masses in different planes, the following two conditions must be satisfied:

• The force in the different planes must be balanced, i.e**. the resultant force must be zero**.
• The couple about the reference plane must be balanced, i.e**. the resultant couple must be zero**.

Hence to satisfy the above condition we need a minimum of two masses in any two planes is required.

Explanation:

Given below is a slider-crank mechanism:

Displacement of the piston from inner dead center:

x = (l + r) - (lcos ϕ + rcosθ)

We know that obliquity ratio 'n' is l/r, therefore;

x = (nr + r) - (nrcos ϕ + rcosθ)

x = r(1 - cosθ) + nr(1 - cosϕ)

$\cos\phi=\sqrt{1-\sin^2\phi}$

$\cos\phi=\sqrt{1-\frac{(r\sin\theta)^2}{l^2}}$

$\cos\phi=\sqrt{1-\frac{(\sin^2\theta)}{n^2}}$

$\cos\phi=\frac{1}{n}\sqrt{n^2-{\sin^2\theta}}$

$x = r\left[ {\left( {1 - \cos θ } \right) + \left( {n - \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}θ } } \right)} \right]$

The velocity of the piston:

$v=\frac{dx}{d θ}\frac{d θ}{dt}$

$v = r\omega \left[ {\sin θ + \frac{{\sin 2θ }}{{2\sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}θ } }}} \right]$

If n² >> sin² θ 

$v = r\omega \left[ {\sin θ + \frac{{\sin 2θ }}{{2n}}} \right]$

Acceleration of the piston:

$a=\frac{dv}{d θ}\frac{dθ}{dt}$

$a = r{\omega ^2}\left[ {\cos θ + \frac{{\cos 2θ }}{n}} \right]$

where, r = radius of the crank, l = length of the connecting rod, θ = angle made by the crank from the inner dead center.

Explanation:

Spring mass system:

Case 1: Mass of spring is negligible

At t = t₀, system energy will be

$E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2}$

According to the energy conservation theorem:

$\frac{{dE}}{{dt}} = 0$

$\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}};} \right) + \frac{1}{2}\left( {m \times 2 v \frac{{dv}}{{dt}}} \right)$

$kxv + mv\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0;$

$m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + kx = 0$

On comparing this with the natural vibration equation we get,

${\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}}$

Case 2: Spring is also having mass

Let the mass of spring be m_s

${\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{m_s}}}{l}dy} \right){\left( {\frac{v}{l}y} \right)^2}$

${\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{6}{m_s}{v^2}$

At t = t₀, system energy will be

$E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{6}{m_s}{v^2}$

$E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right){v^2}$

According to the Energy conservation theorem:

$\frac{{dE}}{{dt}} = 0$

$\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}};} \right) + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right) \times 2v\frac{{dv}}{{dt}}$

$kxv + \left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)v\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0$

$\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)\frac{{{d^{2x}}}}{{d{t^2}}} + kx = 0$

On comparing this with the natural vibration equation we get,

${\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{{\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)}}}$

i.e. when the mass of the spring is also considered for calculation of natural frequency then 1/3^rd of the spring-mass is added to the main mass.

Explanation:

Radial follower:

The follower is known as a radial follower if the line of movement of the follower passes through the centre of rotation of the cam.

Offset follower:

If the line of movement of follower is offset from the centre of rotation of the cam, the follower is known as an offset follower.

Function of offset-follower:

• The force exerted by a cam on the follower is always normal to the surface of the cam at the point of contact. The vertical component (Fcos α) lifts the follower whereas the horizontal component (Fsin α) exerts lateral pressure on the bearing.
• An offset provided in the radial cam-translating-follower mechanism is to decrease the pressure angle during the ascent of the follower because the high value of pressure angle is not desirable as it increases side thrust and performance will not be smooth. Its main concern is to move the follower in the upward direction because it comes down due to its own weight.

Concept:

The center distance between the gear pair is given by:

Centre distance =$\left( {\frac{{{D_1} + {D_2}}}{2}} \right)$, 

where D₁ = Pitch diameter of pinion, D₂ = Pitch diameter of the gear

Module:

• The module is the ratio of the pitch diameter of gear to the no of teeth, $m = \frac{D}{T}$
• The module of two mating gears must be the same (m₁ = m₂).

Calculation:

Given:

T₁ = 19, T₂ = 37, m = 5

For pinion, 

$m = \frac{{{D_1}}}{{{T_1}}}$

$\Rightarrow 5 = \frac{{{D_1}}}{{19}} \Rightarrow {D_1} = 95;mm$

For gear, $m = \frac{{{D_2}}}{{{T_2}}}$

$\Rightarrow 5 = \frac{{{D_2}}}{{37}} \Rightarrow {D_2} = 185$

Center distance $= \frac{{{D_1} + {D_2}}}{2} = \frac{{95 + 185}}{2} = 140;mm$

Concept:

Power transmitted by a belt:

P = (T1 – T2)v

For maximum power:

T1 = T/3

where T1 = Tension in the tight side, T = Maximum tension to which the belt is subjected.

The velocity (maximum) of the belt for maximum power:

$v = \sqrt {\frac{T}{{3m}}}$

where m is mass of belt per unit length.

m = Area × length × density = b.t.l.ρ 

Important Points

Centrifugal Tension (Tc):

Since the belt continuously runs over the pulleys, therefore some centrifugal force is caused, whose effect is to increase the tension on both the tight as well as the slack sides.

The tension caused by this centrifugal force is called centrifugal tension.

Condition for Maximum power transmitted by the belt is T = 3TC

Concept :

The strain energy stored in a beam is given by

$U = ;\smallint \frac{{{M^2}dx}}{{2EI}}$

Where M is bending moment, E is modulus of elasticity and I is moment of inertia.

Calculation:

Given:

w = 10 kN/m = 10 × 10³ N/m, E = 200 GPa = 200 × 10⁹ Pa, I = 1000 cm⁴ = 1000 × 10^-8 m⁴ , l = 2 m

$U = ;\smallint \frac{{{M^2}dx}}{{2EI}}$

At a section X-X moment is

$M = \frac{{w{x^2}}}{2};$

$U = \smallint \frac{{{M^2}dx}}{{2EI}}$

Putting the value of M.

$U = \frac{1}{{2EI}}\int\left ( \frac{{w{x^2}}}{2}\right )^2dx$

$U = \frac{1}{{2EI}}\times\frac{{{w^2}}}{4}\smallint {x^4};dx;$

$U = \frac{1}{{2EI}}\times;\frac{{{w^2}}}{4}\left[ {\frac{{{x^5}}}{{5;}}} \right]$

x is varies from 0 to l

$U = \frac{1}{{2EI}}\times\frac{{{w^2}}}{4}\left[ {\frac{{{x^5}}}{{5;}}} \right]_0^l$

$U = \frac{1}{{2EI}}\times\frac{{{w^2l^5}}}{20}$

$U = \frac{{{w^2}{l^5}}}{{40EI}}$

Putting the value of w, E, and I

$U = \frac{{{{\left( {10 \times {{10}^3}} \right)}^2};\times;{2^5}}}{{40 \times 200 \times {{10}^9} \times 1000 \times {{10}^{ - 8}}}}$

U = 40 Nm

Concept:

The principle stress given for a state of plane stress consists of biaxial tensile stress is

${σ _{1,2}} = \frac{{{σ _x}; +; {σ _y}}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{σ _x} ;- ;{σ _y}}}{2}} \right)}^2} + \tau _{xy}^2}$

And maximum shear stress is given by

${\tau _{max}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{{σ _x}; -; {σ _y}}}{2}} \right)}^2} + \tau _{xy}^2}$

Where σ_x and σ_y are normal stress in x and y direction respectively.

And σ₁ and σ₂ are maximum and minimum principle stress.

Calculation:

Given:

Given uniaxial tensile stress so let us assume that it is acting in x-direction

then σ_x = 8 kPa and σ_y = 0 and largest principal stress σ₁ = 10 kPa       

${σ _1} = \frac{8}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{8}{2}} \right)}^2} + \tau _{xy}^2}$

$10 = 4; + \sqrt {{4^2} + \tau _{xy}^2}$

$\Rightarrow {\left( {10 - 4} \right)^2} = 16 + \tau _{xy}^2$

$\Rightarrow ;\tau _{xy}^2 = 20$

∴  τ_xy = 4.47 kPa

Concept

The coordinates of the center of Mohr’s circle given by σAvg:

$\sigma_{avg}=\left( {\frac{{{σ _x}; + ;{σ _y}}}{2},0} \right)$

Calculation

Given

σ_x = 200 MPa, σ_y = -100 MPa

Co-ordinates of the center of Mohr’s circle is

$\sigma_{avg}=\left( {\frac{{{σ _x}; + ;{σ _y}}}{2},0} \right)$

$\sigma_{avg}=\left(\frac{200;+;(-100)}{2},0\right)$

$\sigma_{avg}= \left( {;\frac{{100}}{2},;0} \right)=(50,0)$

Explanation:

Torque transmission by a hollow shaft: 

Torsion equation = $\frac {T} {J} = \frac {τ_{max}} {R} = \frac {G\theta} {L}$

Torque transmission $T = \frac {τ_{max}{J}} {R} = τ_{max} \times Z_p$

where, T = Torque, J = polar moment of inertia , R = Outer radius of shaft , r = internal radius of shaft

Z_p = Polar modulus of the section

For hollow shaft

J = I_xx + I_yy = $\frac{\pi}{32}\times ({D^{4} - d^{4}}) = \frac{\pi}{2}\times ({R^{4} - r^{4}})$

Z_p = $\frac{J}{R} = \frac{\frac{\pi}{2}\times ({R^{4} - r^{4}}) }{R}$

$T = τ_{max} \times Z_p = \frac{\pi}{2R}\times ({R^{4} - r^{4}}) \times \tau _{max}$

$T = \frac{\pi}{2R} ({R^{4} - r^{4}}) \tau _{max}$

Concept:

To calculate the reaction at supports, we use equilibrium condition i.e.

ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 and ΣM_A = 0

Calculation:

Given:

AB = 2000 mm ⇒ 2 m, BC = 2000 mm ⇒ 2 m

ΣF_y = 0

R_A + R_C = (3000 × 2) ⇒ 6000 N  

ΣMA = 0

R_C × 4 - (3000 × 2 × 3) = 0

∴ R_C = 4500 N.

∴ R_A = 1500 N.

From a similar triangle:

$\frac{{1.5}}{{\left( {2 - x} \right)}} = \frac{{4.5}}{x};;; \Rightarrow x = 6 - 3x$

∴ x = 1.5 m from end C or 2500 mm from end A.

Concept:

• In the case of thin cylinders, the hoop stress is determined by assuming it to be uniform across the thickness of the cylinder but in thick cylinders, the hoop stress is not uniform across the thickness, it varies from a maximum value at the inner circumference to a minimum value at the outer circumference.
• The radial pressure across the thin cylinder is neglected.

Radial stress is given by Lame’s equation:

${\sigma_r} = \frac{{{C_1}}}{{{r^2}}} - {C_2}$

Boundary condition:

σ_r = p_i, at r = a (inner radius)

$p_i=\frac{C_1}{a^2}-C_2$

σr = 0, at r = b (outer radius)

$0=\frac{C_1}{b^2}-C_2$

Determination of constant C1 and C2:

From (i) and (ii), we get

$\frac{{{C_1}}}{{{a^2}}} - \frac{{{C_1}}}{{{b^2}}} = {p_i}$

${C_1} = {p_i}\left( {\frac{{{a^2} {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}} \right)$

Putting the value of C₁ in (ii) we get,

${C_2} = \left( {\frac{{{p_i}{a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}} \right)$

Radial stress:

${\sigma_r} = \frac{{{p_i}}}{{{r^2}}}\left( {\frac{{{a^2} {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}} \right) - \left( {\frac{{{p_i} {a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}} \right)$

${\sigma_r} =- {\frac{{{p_i} {a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}} \left( {\frac{{{b^2}}}{{{r^2}}}-1} \right)$

${\sigma_r} = {\frac{{{p_i} {a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}} \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{r^2}}}} \right)$

The negative sign represents the stress is compressive in nature.

Concept:

The equivalent bending moment of a shaft is given by

${M_e} = \frac{1}{2};\left[ {M + \sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right]$

where M is bending moment and T is the twisting moment.

Calculation:

Given:

M = 0.75 kN-m and T = 1 kN-m.

${M_e} = \frac{1}{2};\left[ {M + \sqrt {{M^2} + {T^2}} } \right]$

${M_e} = \frac{1}{2};\left[ {0.75+ \sqrt {{0.75^2} + {1^2}} } \right]$

${M_e} = \frac{1}{2}\times2$

M_e = 1 kN-m

Additional Information

The equivalent twisting moment of a shaft is given by

${T_e} = \sqrt {{M^2} + {T^2}} ;$

Explanation:

The endurance limit of the specimen is given by

S_e = K_a K_b K_c K_d S_e'

where K_a =  Surface finish factor, K_b = Size factor, K_c = Reliability factor, K_d = Modifying factor to account for stress concentration, S_e = Endurance limit stress of a particular mechanical component subjected to reversed bending stress (N/mm²), S_e' = Endurance limit the stress of a rotating beam specimen subjected to reversed bending stress (N/mm²)

• When the surface finish is poor, there are scratches and geometric irregularities on the surface. These surface scratches serve as stress raisers and result in stress concentration. The endurance limit is reduced due to the introduction of stress concentration on these scratches.
• When the machine part is larger greater is the probability that a flaw exists somewhere in the component, the chances of fatigue failure originating at these flaws are more. The endurance limit, therefore, reduces with the increasing size of the component.
• The greater the likelihood that a part will survive, the more is the reliability factor. The reliability factor K_c depends upon the reliability that is used in the design of the component.

∴ The endurance limit is reduced due to stress concentration.

Concept:

The approximate rating of the service life of a ball or roller bearing is based on the given fundamental equation.

${\rm{L}} = {\left( {\frac{{\rm{C}}}{{\rm{W}}}} \right)^{\rm{k}}} \times {10^6}{\rm{revolution}}$

where L is rating life, C is a basic dynamic load, W is the equivalent dynamic load.

k = 3 for ball bearing

k = 10/3 for roller bearing

Calculation:

Given:

Ball bearing k = 3

$L = {\left( {\frac{C}{P}} \right)^3}\Rightarrow L \propto { {\frac{1}{P^3}} }$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {L_1}P_1^3 = {L_2}P_2^3\ \Rightarrow {L_1}{\left( P \right)^3} = {L_2}{\left( {\frac{P}{2}} \right)^3}\ \Rightarrow {L_1}{P^3} = \frac{{{L_2}{P^3}}}{8} \end{array}$

${L_2} = 8{L_1}$

∴ life increases by 8 times.

Concept:

Spring constant / Stiffness of a spring (k): Force required to produce unit deflection.

$k = \frac{P}{\delta }$

where P = Load & δ = Deflection.

Deflection of spring in terms of active turns:

$\delta = \frac{{8P{D^3}N}}{{G{d^4}}}$

$∴ k = \frac{P}{{\frac{{8P{D^3}N}}{{G{d^4}}}}} ⇒ \frac{{G{d^4}}}{{8{D^3}N}}$

where

D = Diameter of the spring coil, d = Diameter of spring wire, N = No. of active turns, and G = Modulus of Rigidity.

When two springs of stiffness k₁ and k₂ are connected in series, the equivalent stiffness is given by –

$\frac{1}{{{k_{eq}}}} = \frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}}$

When two springs of stiffness k₁ and k₂ are connected in parallel, the equivalent stiffness is given by:

k_eq = k₁ + k₂

Calculations:

Given:

P = 1000 N, δ₁ = 10 mm, N₁ = 20, N₂ = 10

$\because k_1=\frac{P}{\delta_1}$

$∴ k_1=\frac{1000}{10}$

∴ k₁ = 100 N/mm

When Spring is cut into two halves –

${\rm{k}} = \frac{{{\rm{G}}{{\rm{d}}^4}}}{{8{{\rm{D}}^3}{\rm{N}}}}$

$\frac{{{{\rm{k}}_2}}}{{{{\rm{k}}_1}}} = \frac{{{{\rm{N}}_1}}}{{{{\rm{N}}_2}}}{\rm{;;;;;}}\left( {{\rm{\because other;parameters;are;constant}}} \right)$

$∴ \frac{{{k_2}}}{{100}} = \frac{{20}}{{10}}$

⇒ k₂ = 200 N/mm

k₂ represents the stiffness of spring after the cut.

Let k₂₁ and k₂₂ be the stiffness of new spring after cut.

∵ the springs are connected in parallel

∴ k_eq = k₂₁ + k₂₂

⇒ k_eq = 200 + 200

⇒ k_eq = 400 N/mm

$\because {k_{eq}} = \frac{P}{{{\delta _{new}}}}$

$\Rightarrow {\delta _{new}} = \frac{{1000}}{{400}}$

∴ δ_new = 2.5 mm.